Selasa, 06 Maret 2012

  1
LOGIKA MATEMATIKA     
(Pembelajaran Matematika SMA)
Oleh: H. Karso

A. Kalimat Pernyataan     
  Pengertian logika matematika termasuk logika modern dan logika tradisional
dengan pentingnya belajar logika secara panjang lebar disajikan dalam buku materi
pokok  (modul)  mata  kuliah  Pengantar  Dasar  Matematika.  Khusus  dalam  sajian
sekarang kita akan mengawalinya dengan salah satu konsep dasar logika matematika
yang disebut pernyataan atau proposisi (prepotitio).
1. Kalimat Pernyataan
  Dalam pelajaran  logika matematika kalimat pernyataan haruslah dibedakan
dengan  kalimat-kalimat  biasa  dalam  bahasa  sehari-hari.  Kalimat  pernyataan  atau
disingkat dengan pernyataan tidak sama dengan kalimat biasa, sebab dalam kalimat
biasa sering dipilih kata-kata yang pantas, yang mudah, kiasan atau ungkapan yang
kabur,  dan  kadang-kadang  dipakai  kata-kata  yang  bermakna  ganda.  Sebaliknya
dalam pernyataan tidaklah demikian, tetapi kalimatnya haruslah lengkap, tidak kabur
dan jelas.
  Suatu  ciri  logis  dalam  pelajaran  matematika,  bahwa  yang  dimaksudkan
dengan pernyataan yaitu suatu kalimat yang hanya benar saja atau salah saja,  tidak
dua-duanya pada saat yang sama, artinya tidak sekaligus benar dan salah. Sedangkan
kalimat  yang  benar  tidak,  salahpun  tidak  adalah  bukan  pernyataan.  Untuk  lebih
jelasnya kita perhatikan tiga kelompok contoh berikut ini.

Contoh 1 (Pernyataan yang benar) :
a. Jakarta adalah ibu kota negara Republik Indonesia
b. Jika x = 4, maka 2x = 8
c. Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan

Contoh 2 (Pernyataan yang salah) :
a. Udara adalah benda padat
a. x – y = y – x; x   y   2
c. Setiap bilangan prima adalah ganjil
Contoh 3 (Bukan pernyataan) :
a. x + 7 = 0 
b. x2
 + 2x – 15 = 0
c. a + b > 9
  Istilah-istilah  lain  untuk  pernyataan  adalah  kalimat  matematika  tertutup,
kalimat tertutup, kalimat deklaratif, statement, atai proposisi. Sedangkan istilah lain
untuk  kalimat  yang  bukan  pernyataan  adalah  kalimat  matematika  terbuka  atau
kalimat  terbuka.  Namun  ada  beberapa  akhli  logika  dalam  bukunya  yang
membedakan  istilah  pernyataan  dan  istilah  proposisi. Hal  ini  berhubungan  dengan
pemakaiannya.  Istilah  pernyataan  (statement)  digunakan  untuk  menyatakan,
sedangkan  istilah  proposisi  (proposition)  digunakan  untuk  kalimat  tertutup.  Akan
tetapi pada umumnya para khli logika tidak membedakan pengertian pernyataan dan
pengertian  proposisi.  Dalam  modul  ini  istilah  proposisi  tetap  diartikan  sebagai
kalimat  tertutup,  sedangkan  kalimat  pernyataan  akan  dipakai  untuk  keperluan
tertentu umumnya sama seperti buku-buku lainnya, bahwa istilah kalimat pernyataan
tidak dibedakan dengan pengertian proposisi.

2. Pernyataan Tunggal dan Pernyataan Majemuk
  Suatu kalimat selain dapat dibedakan atas pernyataan dan bukan pernyataan,
kalimat  itu  dibedakan  pula  atas  pernyataan  tunggal  (simple  statement)  dan
pernyataam  majemuk  (compound  statement).  Pernyataan  tunggal  atau  pernyataan
sederhana  ialah pernyataan yang  tidak memuat pernyataan  lain  sebagai bagiannya.
Pernyataan  majemuk  itu  bisa  merupakan  kalimat  baru  yang  diperoleh  dari
penggabungan bermacam-macam pernyataan tunggal.

Contoh 4 
a.    Pernyataan  “19  adalah  bilangan  prima”  dapat  dilambangkan  dengan  huruf  “p”
saja.
b.  Pernyataan “x2
 = 1” dilambangkan “r”, dan sebagainya.   3
  Dua  pernyataan  tunggal  atau  lebih  dapat  kita  gabungkan  menjadi  sebuah
kalimat baru yang merupakan pernyaan majemuk. Sedangkan tiap pernyataan bagian
dari  pernyataan  majemuk  itu  disebut  kompnen-komponen  pernyataan  majemuk.
Komponen-komponen  dari  pernyataan  majemuk  itu  tidak  selamanya  harus
pernyataan  tunggal,  tetapi mungkin  saja berupa pernyataan majemuk. Namun yang
perlu untuk kita adalah bagaimana mengusahakan cara menggabungkan pernyataan-
pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk. 
  Untuk  menggabungkan  pernyatan-pernyataan  tunggal  menjadi  pernyataan
majemuk  dapat  dipakai  kata  hubung  atau  kata  perangkai  yang  disebut  operasi-
operasi logika matematika. Dalam pelajaran logika ini Anda jumpai operasi-operasi
seperti dalam pelajaran matematika  lainnya, yaitu operasi binar  (binary operation),
atau  operasi  yang  dikenakan  pada  dua  pernyaan  dan  operasi  monar  (monary
operation) operasi pada sebuah pernyataan. 
  Adapun  operasi-perasi  yang  dapat  membentuk  pernyataan  majemuk  yang
kita kenal adalah : 
1. Negasi atau ingkaran atau sangkalan, dengan kata penyangkalan “tidaklah benar”.
2. Konjungsi, dengan kata perangkai “dan”.
3. Disjundsi dengan kata perangkai “atau”.
4. Implikasi atau kondisional, dengan kata perangkai “jika … maka …”.
5. Biimplikasi  atau bikondisional, dengan kata perangkai  “ …  jika dan hanya  jika
…”.
  Operasi-operasi  ini  akan  Anda  jumpai  penjelasannya  secara  lebih  lanjut
dalam  bagian-bagian  mendatang.  Sedangkan  untuk  lebih  memahami  pernyataan-
pernyataan mejemuk dapatlah kita perhatikan beberapa contoh berikut ini. 

Contoh 5
a. Bunga mawar berwarna merah dan bungan melati berwarna putih.
b. Ani dan Ana anak kembar
c. Cuaca cerah atau udara panas.
d. Jika x > 0 maka
2
x
 = x.
e. Suatu segitiga adalah sama sisi jika dan hanya jika ketiga sudutnya sama.   4
f. Tidaklah benar bahwa 15 adalah bilangan prima.  
Contoh  5.  a  adalah  pernyataan majemuk  yaitu  suatu  konjungsi,  sebab  pernyataan
“Bunga mawar berwarna merah dan bunga melati berwarna putih” terdiri dari dua
pernyataan  tunggal  sebagai  komponen-komponennya,  yaitu  :  “  Bunga  mawar
berwarna merah” dan “Bungan melati berwarna putih”.
  Sedangkan contoh 5. b adalah bukan pernyataan mejmuk bentuk konjungsi,
sebab dalam contoh  ini  tidak memuat dua komponen meskipun menggunakan kata
“dan”  tetapi  ini  adalah  pernyataan  tunggal  yang  menyatakan  hubungan.  Tetapi
contoh-contoh 5. 3 sampai contoh 5. f adalah bentuk-bentuk pernyataan majemuk. 

3. Nilai Kebenaran Pernyataan
  Seperti Anda ketahui, bahwa suatu pernyataan hanyalah bisa benar saja atau
salah saja. Kebenaran atau kesalahan dari suatu pernyataan disebut nilai kebenaran
dari pernyataan  itu. Untuk pernyataan  yang mempunyai nilai benar diberi  tanda B
(singkatan  dari  benar)  sedangkan  kepada  pernyataan  yang  bernilai  salah  diberikan
nilai kebenaran S (singkatan dari salah).
  Dalam modul  ini  ucapan  nilai  kebenaran  dilambangkan  dengan  “ ”  (huruf
Yunani  tau =  300). Nilai  kebenaran  dari  suatu pernyataan p ditulis  (p)  , dan  jika
pernyataan p itu adalah benar maka  (p) = B, sedangkan jika pernyataan p itu salah
maka  (p) = S.

Contoh 6
a. Jika p : “5 adalah bilangan genap”, maka  (p) = S.
b. Jika q : “5<9, maka  (q) = B.
c. Jika r : “Semua bilangan prima adalah ganjil”, maka  (r) = S.
  Perlu diketahui pula bahwa ada penulis yang memberikan nilai 1 atau benar
atau T (True) kepada pernyataan yang benar, dan memberikan nilai 0 atau salah atau
F (False) kepada pernyataan yang salah.


   5
B. Operasi-operasi Logika
  Seperti  sudah  disebutkan  sebelumnya,  bahwa  untuk  membentuk  suatu
pernyataan  majemuk  dari  beberapa  pernyataan  tunggal  diperlukan  adanya  kata
perangkai.  Kata  perangkai  disebut  pula  kata  hubung  atau  perakit  yang  fungsinya
hampir sama dengan operasi-operasi dalam pelajaran matematika yang sudah Anda
kenal, seperti operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan sebagainya.
  Kata  perangkai  ini  disebut  operasi-operasi  logika  matematika.  Untuk
selanjutnya  Anda  harus  dapat menentukan  nilai  kebenaran  pernyataan-pernyataan
majemuk. Hal  ini akan dapat dilakukan,  jika diketahui nilai kebenaran komponen-
komponennya,  yaitu  pernyataan-pernyataan  yang  digabungkan.  Maka  sangatlah
penting untuk memahami  sungguh-sungguh  apa  arti masing-masing operasi  logika
matematika tersebut.
  
1. Operasi Negasi
  Operasi  negasi  (negation)  atau  penyangkalan,  atau  ingkaran  adalah  operasi
yang  dikenakan  hanya  pada  sebuah  pernyataan.  Operasi  negasi  dilambangkan
dengan tanda   “   ” atau “ – “ yang disebut tilde atau curl. Untuk selanjutnya akan
dipakai simbol  . 
  Seandainya  p  sebuah  pernyatan  tunggal, maka  “   p”  dibaca  negasi  p  atau
tidak p, atau bukan p, adalah pernyataan majemuk. Mungkin ada yang merasa agak
janggal  bahwa  negasi merupakan  suatu  operasi  logika matemtika,  sehingga  suatu
pernyataan  bernegasi  atau  penyangkalan  dari  suatu  pernyataan  merupakan  suatu
pernyataan majemuk. Namun  jelaslah  bahwa  dalam  pernyataan-pernyataan  negasi
itu  pertama-tama  terdapat  suatu  pernyataan  atau  proposisi  yang  bersifat  tunggal,
misalnya :
Harimau adalah binatang buas
Untuk  menjadikan  suatu  pernyataan  negasi,  diperlukan  pernyataan  lain,  yang
menyatakan bahwa proposisi yang pertama tadi tidak benar, misalnya :
Itu tidak benar
Dengan demikian terdapatlah suatu proposisi negasi yang mejemuk :
(Itu) tidak benar bahwa harimau adalah binatang buas.   6
  Proposisi negasi ini sering dibahasakan dengan menggunakan kata tidak atau
bukan. Proposisi mejemuk di atas juga bisa dinyatakan sebagai berikut : 
Harimau adalah bukan binatang buas
Atau : 
Tidak benar bahwa harimau binatang buas
Untuk lebih memahaminya coba Anda perhatikan beberapa contoh berikut ini.

Contoh 7
a. Jika  p   : 3 + 4 = 7 
  maka   p : Tidaklah benar 3 + 4 = 7
  atau   : 3 + 4   7
b. Jika q   : Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil
  maka   q : Tidaklah benar semua bilangan prima adalah bilangan ganjil
  atau   : Beberapa bilangan prima bukan bilangan ganjil
  Kalau  Anda  perhatikan,  ternyata  bahwa  negasi  dari  sebuah  pernyataan  yang
benar adalah salah, dan negasi dari pernyataan yang salah adalah benar. Jadi,  
(p)  =  B maka    ( p)  =  S,  dan  jika    (q)  =  S maka    ( q)  =  B.  Secara  umum
berlaku :

Definisi  :  Sebuah  pernyataan  dan  penyangkalannya  mempunyai  nilai  kebenaran
yang berlawanan
  Definisi ini dapat ditulis dalam bentuk tabel kebenaran seperti tabel berikut
ini : 

                      p                   p          Baris pertama (1) merupakan singkatan dari       
 (1)                B                   S          pernyataan “Jika p benar, maka   p adalah salah”                              
 (2)                S                     B


Contoh 8
a. Jika p      : 30 + 10   20,   (p) = S   7
  maka   p : Tidak benar bahwa 30 + 10   20,    ( p) = B
  atau   : 30 + 10 > 20,   ( p) = B
b. Jika r   : Beberapa penerbang adalah wanita,   (r) = B
  maka  r  : Tidak benar bahwa beberapa penerbang adalah wanita,   ( r) = S
  atau Salah bahwa beberapa penerbang adalah wanita,   ( r) = S
  atau Semua penerbang bukan wanita,   ( r) = S

2. Operasi Konjungsi
  Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua
pernyataan  tunggal  dengan  memakai  kata  perangkai  dan  disebut  konjungsi
(conjunction).  Sedangkan  pernyataan-pernyataan  tunggal  yang  digabungkannya
disebut konjung-konjung (komponen-komponen).
  Dalam  logika matematika, operasi konjungsi yaitu kata  dan yang berfungsi
sebagai  penghubung  dua  pernyataan  tunggal  menjadi  pernyataan  majemuk
dinotasikan dengan  tanda “   “ atau “  . “ (dot), tetapi  tepapi dalam modul ini yang
akan dipakai adalah notasi “   “.

Contoh 9
a. Jika         p   : 7 – 2 = 5
     dan         q   : 5 adalah bilangan prima
  maka p   q : 7 – 2 = 5 dan 5 adalah bilangan prima.  

b. Jika         p  : Bandung Ibu kota Jawa barat
  dan         q   : 3 + 7 = 10
  maka p   q : Bandung Ibu Kota Jawa Barat dan 3 + 7 = 10.
  Dalam  membentuk  pernyataan  majemuk  tidaklah  diharuskan  bahwa
pernyataan-pernyataan  tunggal  yang  digabungkan  satu  sama  lainnya  mempunyai
suatu  arti. Seperti  halnya  contoh  9.  b  di  atas,  antara  pernyataan  tunggal  yang  satu
dengan pernyataan  tunggal yang satunya  lagi  tidak mempunyai kaitan arti apa-apa.
Hal  ini  berlaku  pula  untuk  kalimat-kalimat  majemuk  lain  yang  dibentuk  oleh
operasi-operasi logika yang lainnya.   8
  Suatu  pernyataan  mejemuk  sama  seperti  pernyataan  tunggal  adakalanya
mempunyai nilai kebenaran benar atau salah, tidak dua-duanya pada saat yang sama.
Nilai  kebenaran  suatu  pernyataan  majemuk  tergantung  pada  nilai  kebenaran
konjung-konjungnya, yaitu nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan asalnya.

Contoh 10
  Untuk lebih jelasnya coba Anda perhatikan satu contoh berikut ini :
Jika          p    : Ati adalah seorang wanita yang cantik.
dan           q  : Ati adalah seorang wanita yang pandai
maka     p   q  : Ati adalah anak yang cantik dan pandai.
  Sekarang akan dicari nilai kebenaran pernyataan-pernyataan majemuk p   q,
jika nilai kebenaran dari komponen-komponennya yaitu p dan q diketahui.
  Dalam  hal  ini,  jelas  bahwa  jika  p    q  benar, maka  p,  q  dua-duanya  benar.
Demikian  pula,  jika  p  dan  q  masing-masing  merupakan  pernyataan  yang  benar,
maka dengan sendirinya p   q  benar pula. 
  Sebaliknya, jika p dan q dua-duanya salah, maka p   q  pasti salah. Demikian
pula, jika salah satu dari p atau q salah, maka p   q juga salah. Secara umum berlaku
definisi berikut. 

Definisi : Sebuah konjungsi benar jika komponen-komponennya benar, tetapi salah
jika salah satu komponennya salah atau kedua-duanya salah. 
  Dalam  bentuk  tabel  kebenaran  definisi  tersebut  dapat  Anda  lihat  seperti
berikut : 

                P           q             p   q 
(1)          B  B  B             Baris pertama (1) merupakan singkatan dari 
(2)  B  S  S              pernyataan : Jika p benar dan q benar, maka
(3)  S  B  S              p dan q adalah benar.
(4)  S  S  S
     9
  Perlu  Anda  perhatikan,  bahwa  dalam  menyusun  suatu  tabel  kebenaran,
segala kemungkinan dari nilai kebenaran komponen-komponennya haruslah disusun
secara sistematis di bawah tiap komponen itu, yang selanjutnya digabungkan dengan
operasi yang telah ditentukan.

Contoh 11
a. Jika           r  : Semua bilangan ganjil merupakan bilangan bulat ;   (r) = B
     dan             s  : Semua bilangan genap merupakan bilangan bulat;   (s) = B
     maka     r   s   : Semua bilangan ganjil dan bilangan genap merupakan bilangan
bulat;   (r   s) = B.

b. Jika          p  : 2 + 2   3 ;   (p) = B
    dan              q  : 4 < 3       ;   (q) = S
  maka p   q  : 2 + 2   3 dan 4 < 3  ;  ( p   q) = S
  dan q   p  : 4 < 3 dan 2 + 2   3  ;   ( q   p) = S

c. Jika           x   : Jakarta Ibu kota Jawa Barat  ;   ( x) = S
  dan               y    : Anjing matanya tiga  ;   ( y) = S
  maka x   y  : Jakarta Ibu kota Jawa Barat dan Anjing matanya tiga  ;  ( x   y)
= S

3. Operasi Disjungsi
  Seandainya dua buah pernyataan tunggal digabungkan dengan kata-kata      “
atau  “, maka  pernyataan majemuk  yang  diperoleh  disebut  “disjungsi”  (disjunction
atau  alternation),  dan  masing-masing  dari  kedua  pernyataan  tunggal  itu  disebut
“disjung-disjung (alternative).
  Pengertian  disjungsi  yaitu  yang  berkaitan  dengan  kata  “atau“  mempunyai
dua arti yang berbeda. Pertama “atau yang inclusive“ yang disebut juga “atau yang
lemah” atau “atau mencakup” yang dalam bahasa Latin ditunjukkan dengan kata     “
vel “, yaitu kata “atau  yang diartikan “dan atau” maksudnya menyatakan salah satu
atau  kedua-duanya.  Dalam  pengertian  yang  pertama  ini  kata  “atau”  dinotasikan   10
dengan  tanda  “ “  yang  merupakan  hurufpertama  dari  kata  vel  .  dan  simbol  ini
disebut “wedge” atau     “vel “. Untuk lebih jelasnya dari atau inklusif ini kita tinjau
sebuah contoh berikut :
“Ia sedang bercerita atau ia sedang memberikan pelajaran”. 
Kata “atau” di sini dapat membenarkan kedua bagian pernyataan itu, artinya
mencakup bagian-bagiannya. Sebab orang bisa bercerita sambil memberi pelajaran.
Pengertian  yang kedua,  yaitu kata  “atau yang  exclusive”  yang disebut  juga
“atau  yang  kuat”  atau  “atau memisah”. Dalam  kata  Latinnya  disebut  “out”,  yaitu
kata  “atau”  yang  menyatakan  salah  satu  tetapi  tidak  kedua-duanya,  dan  ditulis
dengan  simbol  “ ”.  Sebagai  contoh  disjungsi  eksklusif  ini  adalah  pernyataan
majemuk berikut : 
“Saya yang pergi atau Anda yang pergi”
Kata atau dalam contoh ini berfungsi sebagai penghubung yang memisahkan
pernyataan yang satu dari yang lain, yaitu memisahkan “saya yang pergi” atau
“Anda yang pergi”. Dalam pernyataan ini tidak mungkin “saya dan Anda yang
pergi” tetapi harus salah satu “saya atau Anda yang pergi”.
Jadi sebuah disjungsi yang menggunakan “atau inklusif” menyatakan bahwa
paling sedikit satu komponen benar. Sedangkan disjungsi yang menggunakan “atau
eksklusif” menyatakan  bahwa  paling  sedikit  satu  komponennya  benar  tetapi  tidak
dua-duanya. Secara umum dapat dinyatakan seperti berikut.

Definisi  :  Sebuah  disjungsi  inklusif  bernilai  benar,  jika  paling  sedikit  satu
komponennya benar, dan sebuah disjungsi ekslusif bernilai benar, jika paling sedikit
satu komponennya benar tetapi tidak dua-duanya.
  Tabel kebenaran “atau inklusif” ( ), dan “atau eksklusif” ( ) adalah seperti
tabel berikut :


   11

        p                  q             p   q                                   p                q             p   q
        B                  B                B                                     B                B                S
        B                  S                 B                                     B                S                B   
        S                  B                 B                                     S                B                B 
        S                  S                 S                                      S                S                 S

  Untuk pembahasan selanjutnya yang dimaksudkan dengan kata “atau” adalah
“atau imklusif” dengan notasi “ ”. Sedangkan untuk “atau ekslusif” dalam
pemakaiannya akan disebutkan secara tegas.

Contoh 12 
a. Jika                  p : 2 – 3   3 – 2                                   ;   (p) = B
  dan                  q : 2 + 3 = 3 + 2                                   ;   (q) = B
  maka  p   q  : 2 – 3   3 – 2   atau   2 + 3 = 3 + 2   ;   (p   q )

b. Jika                  r  :  4 > 3                   ;   (r) = B
  dan                  s  : 3 < 2                     ;   (s) = S
  maka         r   s  : 4 > 3  atau  3 < 2  ;   (r   s ) = B
  dan s   r   : 3 < 2 atau 4 > 3 ;   (r   s ) = B

c. Jika x = 27 habis dibagi 2 ;   (x) = S
  dan              y  :  Jakarta ada di Sumatera ;   (y) = S
  maka        x   y  : 27 habis dibagi 2 atau Jakarta ada di Sumatera ;   (x   y) = S

Contoh 13 (Disjungsi eksklusif) 
a.  Dua garis dalam bidang sejajar atau berpotongan
b.  Ia sedang membaca buku atau tidur
c.  Saya lahir di Bandung atau Jakarta   12
4. Operasi Implikasi
  Dalam  matematika  sering  ditemukan  pernyataan-pernyataan  dalam  bentuk
“jika maka”. Pernyataa dalam bentuk “jika maka”  ini diperoleh dari penggabungan
dua pernyataan tertentu. Misalnya dari pernyataan tunggal p dan pernyataan tunggal
q, dibentuk kalimat baru yang merupakan pernyatan majemuk dalam bentuk “jika p
maka  q”.  Pernyataan-pernyataan  yang  berbentuk  demikian  disebut  implikasi
(implication),  atau  kondisional  (conditional  statement)  atau  pernyataan-pernyataan
bersyarat. 
  Pernyataan “Jika p maka q” dinotasikan “ p   q” atau “p   q”. Sedangkan
kata  penghubung  dengan  notasi  “   “  atau  “    “  disebut  operasi  implikasi.
Selanjutnya notasi implikasi yang akan dipakai dalam modul ini adalah notasi “ ”
  Perhatikan  sebuah  contoh  pembentukan  pernyataan  implikasi  sebagai
berikut:

Contoh 14
Jika            p : Segitiga ABC samakaki
dan             q : Segitiga ABC mempunyai dua sudut yang sama
maka  p   q : Jika semua segitiga ABC samakaki, maka segitiga ABC mempunyai
dua sudut yang sama.
  Dalam pernyataan implikasi, komponen kalimat yang terletak diantara “jika”
dan  “maka”,  yaitu  bagian  kalimat  yang  lebih  dulu  yang  menjadi  syarat  disebut
“anteseden” (antecedent). Sedangkan komponen pernyataan yang ditulis kemudian,
yaitu  bagian  belakang  yang merupakan  akibatnya  atau  yang mengikutinya  disebut
“konsekwen” (consequent).
  Untuk  contoh  di  atas  yang menjadi  anteseden  adalah  kalimat  p  :  “Segitiga
ABC  samakaki”,  dan  yang menjadi  konsekwen  adalah  kalimat  q  :  “Segitiga ABC
mempunyai dua sudut yang sama. 
  Sekarang  akan  diselidiki  nilai  kebenaran  dari  suatu  implikasi,  tetapi
sebelumnya kita tinjau dahulu beberapa implikasi yang berbeda, sehingga kita dapat
melihat adanya macam-macam implikasi yang berlainan. 
   13
Contoh 15
a. Jika               p : Semua kucing suka makan tikus
     dan               q : Si Belang adalah seekor kucing
     maka  p   q : Jika semua kucing suka makan tikus dan si Belang seekor kucing,
maka si Belang suka makan tikus.

b. Jika               p : Gambar ini adalah sebuah segitiga
     dan               q : Semua segitiga mempunyai tiga sisi
     maka  p   q : Jika gambar ini sebuah segitiga, maka gambar ini mempunyai tiga
sisi

c . Jika               p : Karet direndam dalam bensin
     dan               q : Karet larut dalam bensin
     maka  p   q : Jika karet direndam dalam bensin, maka karet tersebut akan larut.
Kebenaran  implikasi  ini bukan persoalan  logika atau definisi,  tetapi konsekwennya
merupakan  akibat.  Dalam  contoh  terakhir  ini  yang  ditonjolkan  bersifat  sebab
menyebab atau hubungan sebab akibat dan harus diselidiki secara empiris.
  Ketiga contoh di atas memperlihatkan adanya macam-macam implikasi yang
mempunyai pengertian yang berbeda-beda tentang ungkapan “Jika …, maka …”.
  Dengan memperhatikan adanya perbedaan-perbedaan  itu kita akan berusaha
menemukan  arti  yang  sama  atau  sebagian  arti  yang  sama  mengenai  tipe-tipe
implikasi  tersebut.  Dalam  hal  ini,  sebagian  arti  yang  sama  dari  macam-macam
implikasi yang berlainan akan dapat diketahui, bila kita bertanya : “Keadaan apakah
yang cukup untuk menentukan kesalahan sebuah pernyataan implikasi ?”.
  Apabila kita tinjau contoh ketiga di atas, maka pernyataan itu akan salah jika
“Karet itu benar-benar direndam dalam bensin dan tidak larut”. Padahal berdasarkan
pengalaman memang karet itu larut dalam bensin.
  Untuk  lebih  jelasnya  tentang  dalam  hal manakah  implikasi  yang  berbeda-
beda itu salah, kita tinjau kembali ketiga contoh di atas, dalam keadaan berikut :
a. Jika semua kucing suka makan tikus dan si Belang seekor kucing, maka si Belang
tidak suka makan tikus.    14
b. Jika gambar  itu benar-benar sebuah segitiga, maka gambar  itu  tidak mempunyai
tiga sisi.
c. Jika karet itu benar-benar direndam dalam bensin, maka karet itu tidak akan larut.

  Nilai  kebenaran  dari  ketiga  implikasi  yang  baru  ini,  adalah  salah.  Jadi,  suatu
implikasi  dengan  anteseden  benar  dan  konsekwen  salah  haruslah  salah.
Karenanya tiap implikasi “Jika p maka q” bernilai salah dalam hal konjungsi : “p
    q”  benar.  Tetapi  agar  implikasi  “Jika  p  maka  q”  bernilai  benar,  maka
konjungsi “p     q” harus salah. Dengan kata lain, supaya suatu implikasi “Jika p
maka q” benar, maka   (p     q) harus benar. Tabel kebenarannya seperti berikut:

p  q   p  p     q   (p     q)  p  q
B
B
S
S
B
S
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
B
S
B
B
B
S
B
B

Atau secara singkatnya tabel kebenarannya seperti berikut :

p   q  p  q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
B
 
Secara umum berlaku  :

Definisi  :  Suatu  pernyataan  implikasi  hanya  salah  jika  antisedennya  benar  dan
konsekwennya  salah,  dalam  kemungkinan  lainnya  pernyataan  implikasi  itu  adalah
benar. 
   15
Contoh 16
Bila  p  dan  q  pernyataan-pernyataan  yang  benar  sedangkan  r  dan  s  adalah
pernyataan-pernyataan  yang  salah,  maka  nilai  kebenaran  dari  tiap  pernyataan
majemuk berikut
1.  p   q = B 
2.  q   r = S
3.  r   s = B
4.  s   p = B
5.  r   ( r   s) = B
6.  (r   s)   s = S
7.  (r   p)   (q   s) = S
8.  (r   p)   (  r     p) = S
9.  [(p   r)   S ]   (p   s) = S

5. Operasi Biimplikasi
  Selain  operasi-operasi  negasi,  konjungsi,  disjungsi  dan  implikasi  dalam
logika  matematika  dikenal  pula  operasi  yang  dinamakan  operasi  biimplikasi.
Operasi biimplikasi disebut juga operasi bikondisional ( biconditional), atau operasi
implikasi  dwi  arah,  atau  operasi  ekuivalensi.  Operasi  biimplikasi  ini  dinotasikan
dengan  “  ”  yang  dapat  dibaca  sebagai  “materially  implication”  atau  “jika  dan
hanya jika”.
  Seperti  halnya  operasi-operasi  binar  lainnya,  maka  untuk  membentuk
pernyataan  majemuk  biimplikasi  diperlukan  dua  pernyataan  sebagai  komponen-
komponennya.  Misalnya  komponen  pertama  adalah  pernyataan  p  dan  komponen
kedua adalah pernyataan q. Maka pernyataan majemuk “p ekuivalen dengan q” atau
“p jika dan hanya jika q” yang dinotasikan “p   q” mempunyai arti bahwa p   q
dan q   p. 
Selanjutnya  sebagai  konsekwensi  logisnya,  p    q  akan  mempunyai  nilai
kebenaran  yang  benar  hanya  jika  p    q  dan  q    p  kedua-duanya  bernilai  benar.
Sedangkan sudah Anda ketahui bahwa implikasi p   q dan q   p dua-duanya akan   16
benar  hanya  jika  p  benar  dan  q  benar,  atau  p  salah  dan  q  salah,  sedangkan  dalam
keadaan lainnya tidak mungkin. Sebab, jika p dan q nilai kebenarannya tidak sama,
maka p   q dan q   p tidak akan saling menyimpulkan berarti kedua-duanya tidak
akan benar. Secara umum berlaku : 

Denifini  : Suatu biimplikasi p   q benar  jika nilai kebenaranp  sama dengan nilai
kebenaran q, dan biimplikasi p   q salah jika nilai kebenaran p tidak sama dengan
nilai kebenaran q. 

Tabel kebenarannya 
p   q  P   q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
B
 
Contoh 17
a. Jika            p : 2 + 2 = 5       ;    (S)
    dan            q : 5 adalah bilangan prima     ;     (B)
    maka p   q : 2 + 2 = 5 jika dan hanya jika 5 adalah bilangan prima
      (p   q) = S, sebab   (p   q) = B dan   (q   p) = S
b. Jika            p : Indonesia anggota Asean       ;    (B)
    dan            q : Pilifina anggota Asean           ;     (B)
    maka  p    q  :  Indonesia  anggota  Asean  jika  dan  hanya  jika  Pilifina  anggota
Asean.
      (p   q) = B, sebab   (p   q) = B dan   (q   p) = B

c. Jika            p : 4 < 3       ;    (S)
    dan            q : 4 = 3       ;      (S) 
    maka p   q : 4 < 3 jika dan hanya jika 4 = 3
      (p   q) = B, sebab   (p   q) = B dan   (q   p) = B   17
d. Bila p benar dan q salah, maka nilai kebenaran pernyataan majemuk berikut : 
a. (p   q )      p = B
b. (p   q)   q     p = B
c. [(p     q)   p ] = B

6. Urutan Pemakaian Operasi
  Untuk menentukan nilai kebenaran  sebuah pernyataan majemuk yang  lebih
dari dua pernyataan  tunggal, dan  lebih dari  satu operasi, pertama-tama dicari nilai
kebenaran pernyataan-pernyataan  yang  terletak di dalam  tanda kurung kecil  (…..),
kemudian yang terletak di dalam tanda kurung siku [ …….. ], dan seterusnya.
  Misalnya untuk mencari nilai kebenaran dari pernyataan mejemuk berikut : 
{  [ p   (  q   r)]}
Urutan pengerjaannya adalah
1.   (  q)
2.   (  q   r)
3.  [ p   (  q   r)]
4.  {  [ p   (  q   r)]}

Jika  dalam  sebuah  pernyataan mejemuk  tidak  ada  tanda-tanda  pengelompokan
seperti kurung kecil ( ), kurung siku [ ], dan sebagainya, maka operasi-operasi logika
dikerjakan menurut urutan berikut :
1. Negasi
2. Konjungsi
3. Disjungsi
4. Implikasi
5. Biimplikasi
  Sebagai  contoh,  pernyataan-pernyataan  p    q        r  dan  p    (q        r)
mempunyai nilai kebenaran yang sama, karena baik tanpa kurung maupun memakai
tanda kurung langkah-langkah pengerjaannya ialah :
1.   (  r)
2.   (q      r)   18
3.   [ p   q      r ]
  Akan  tetapi nilai kebenaran pernyataan majemuk p   q        r  tidak  sama
dengan nilai kebenaran  (p   q)        r,  sebab untuk mencari    [  (p   q)        r  ]
langkah yang harus ditempuh adalah :
1.   (p   q)
2.   (  r)
3.   [ (p   q)      r) ]
  Untuk  lebih  jelasnya  Anda  perhatikan  beberapa  contoh  langkah-langkah
pengerjaan untuk mencari nilai kebenaran pernyataan majemuk berikut:

Contoh 18
a. Langkah-langkah pengerjaan p   q   r    p   r
     sama dengan { (p   q)   [ r   ( p) ] }   r
     yaitu :
1.   (p   q)
2.   ( p)
3.   [ r   ( p) ]
4.   {(p   q)   [ r   ( p) ] } 
5.   [ { (p   q)   [ r   ( p) ] }   r ]

b. Bila x dan y adalah pernyataan-pernyataan yang benar, sedangkan z adalah
pernyataan-pernyataan yang salah, maka nilai kebenaran dari pernyataan x    
y   z   y    x     z adalah S, dengan langkah-langkah pengerjaan sebagai
berikut :
1.   (  y) = S
2.   (  x) = S
3.   (  z) = B
4.   [ (  y)   z ] = S
5.   [ y   ( x) ] = B
6.   {x   [ (  y)   z ] } = S   19
7.   { [y   ( x) ]    (  z) = B
8.   [ {x   [ (  y)   z ] }    { [y   ( x) ]   (  z)} ] = S

7. Tabel Kebenaran
  Untuk  lebih mudahnya menentukan  nilai  kebenaran  dari  suatu  pernyataan
majemuk, pergunakan suatu tabel yang disebut tabel kebenaran (truth tabel).
  Karena  sudah diketahui bahwa  suatu pernyataan  itu hanya dapat benar atau
salah  saja,  maka  setiap  pernyataan  itu  hanya  mempunyai  dua  kemungkinan,
kemungkinan  yang  pertama  adalah  benar  dan  kemungkinan  yang  kedua  adalah
salah. Seandainya ada dua buah pernyataan tunggal yang akan kita gabungkan maka
komposisi gabungan kedua pernyataan itu adalah sebagai berikut :
1. Pernyataan yang pertama benar, pernyataan yang kedua benar.
2. Pernyataan yang pertama benar, pernyataan yang kedua salah
3. Pernyataan yang pertama salah, pernyataan yang kedua benar
4. Pernyataan yang pertama salah, pernyataan yang kedua salah.

  Jika pernyataan yang pertama itu ialah p dan pernyataan yang kedua ialah q.
Maka empat komposisi gabungan kedua pernyataan  seperti di atas  itu dapat dibuat
tabel kebenarannya seperti berikut : 
  p  q
(1)
(2)
(3)
(4)
B
S
B
S
B
S
B
S

  Seperti  sudah  Anda  ketahui  pula  dalam  tabel  kebenaran  negasi,  tabel
kebenaran  konjungsi,  disjungsi,  implikasi,  dan  tabel  kebenaran  biimplikasi  yang
dinamakan  tabel-tabel  kebenaran  dasar,  bahwa  banyaknya  komposisi  tergantung
pada  banyaknya  pernyataan  yang  akan  digabungkan.  Ternyata  bila  ada  dua
pernyataan  didapatkan  empat macam  komposisi.  Sedangkan  dari  tiga  pernyataan,   20
akan didapatkan delapan macam komposisi, dan dari empat pernyataan didapatkan
enam belas macam komposisi, dan seterusnya. 
  Jadi, banyaknya komposisi  itu  tergantung pada banyaknya pernyataan yang
akan  digabungkan.  Secara  umum  berlaku  jika  banyaknya  pernyataan  ada  n, maka
banyaknya komposisi ada 2n
.

Contoh 19
a. Carilah   [   (p     q)]
  Langkah-langkah pengerjaan yang sudah Anda kenal adalah sebagai berikut  
  (1).   (p)
  (2).   (q) 
  (3).   (  q)
  (4).   (p     q)
(5).   [   (p     q)]
Dengan menggunakan tabel kebenaran seperti berikut:
p  q   q  p     q   (p     q)
B
B
S
S
B
S
B
S
S
B
S
B
B
B
S
B
S
S
B
S
(1)  (2)  (3)  (4)  (5)
 [   (p     q)] = SSBS
  Penyusunan tabel kebenaran di atas dapat disederhanakan sebagai berikut :
  ( p       q )
S
S
B
S
B
B
S
S
B
B
S
B
S
B
S
B
B
S
B
S
(4)  (1)  (3)  (2)  (1)
   21
b. Jika a dan b pernyataan-pernyataan yang benar, sedangkan c dan d pernyataan-
pernyataan yang salah, maka tabel kebenaran pernyataan majemuk   a   b   c
   d     a adalah : 
  a    b    c      d      a
S  B  B  B  B  S  S  B  S  S  S  B
(2)  (1)  (6)  (1)  (4)  (1)  (5)  (2)  (1)  (3)  (2)  (1)

Jadi :   (  a   b   c     d     a) = B
  Dalam setiap kolom tabel kebenaran dibubuhkan nomor urut langkah-
langkah pengerjaan untuk mencari nilai kebenaran. Sedangkan pada lajur akhir
langkah pengerjaan dibatasi oleh garis rangkap dua. Lajur terakhir ini merupakan
penyelesaian nilai kebenarannya.

C. Pernyataan Berkuantor
  Dalam  kegiatan  belajar  modul  sebelumnya,  telah  Anda  ketahui  bahwa
apabila suatu kalimat terbuka variabelnya diganti dengan bermakna oleh konstanta,
maka  didapatkan  pernyataan.  Selain  dengan  cara  itu,  ada  suatu  cara  lain  untuk
memperoleh  suatu  pernyatan  dari  suatu  kalimat  terbuka,  yaitu  dengan  cara
membubuhkan suatu kuantor di depan kalimat terbuka tersebut.
1. Pengertian Kuantor
  Suatu kuantor  ialah  suatu ucapan yang  jika dibubuhkan pada  suatu kalimat
terbuka  akan  dapat  mengubah  kalimat  terbuka  tersebut  menjadi  sebuah  kalimat
tertutup atau pernyataan. Pada dasarnya kuantor itu ada dua macam yaitu :
  1. Kuantor universal (universal quantifier)
  2. Kuantor khusus (existensial quantifier)
  Kuantor  universal  yang  disebut  pula  kuantor  umum  dilambangkan  dengan
“ ”  yang  dibacanya  :  “setiap“  atau  “semua“.  Notasi  “( x)”    dibacanya  :  “untuk
setiap x”  atau  “untuk semua x”.
Kuantor  eksistensial  atau  ada  yang  menyebutnya  sebagai  kuantor  khusus
dilambangkan  dengan  “ ”  yang  dibacanya  :  “sekurang-kurangnya  ada  satu”    atau    22
“ada beberapa”. Untuk notasi “( y)” dibacanya : “ada beberapa y”  atau “sekurang-
kurangnya ada satu y”.

Contoh 20  
a. Misalkan p(x) kalimat terbuka : x + 3 > 5
Apabila  pada  kalimat  ini  dibubuhi  kuantor  universal, maka  ( x)  p(x)  berarti  :
( x) ( x + 3 > 5). Ini merupakan kalimat tertutup, dan diucapkan : “Untuk semua
x  berlaku  x    3  >  5”.  Pernyataan  ini  nilai  kebenarannya  salah,  sebab  dengan
pemisalan untuk x = 0, diperoleh pernyataan yang salah, yaitu 0 + 3 > 5. 
Apabila pada kalimat di atas dibubuhi kuantor eksistensial, maka diperoleh :
( x) p(x) berarti : ( x) (x + 3 > 5).
Diucapkannya : “Ada x sedemikian sehingga berlaku x + 3 > 5”  atau “Sekurang-
kurangnya  ada  satu  harga  x  sehingga  berlaku  x  +  3  >  5”.  Ini  merupakan
pernyataan  yang  benar,  sebab  dengan mengambil  pemisalan  x  =  4,  didapatkan
kalimat tertutup yang benar, yaitu x + 3 > 5.

b. Misalkan q(x) kalimat terbuka : x + 1 > 0, maka ( x) p(x) berarti : ( x) ( x + 1 >
0).
Ini merupakan kalimat tertutup.
Jika x   { bilangan positif }, maka ( x) p(x) benar. 
Tetapi jika x   { bilangan real }, maka ( x) p(x) salah.
  Dari segi-segi tertentu pemakaian kuantor memang cukup praktis. Misalnya
pernyataan : “Kuadrat setiap bilangan real tidak negatif”.
Hal ini dapat dilambangkan dengan : 
( x   R) ( x2
   0). R himpunan bilangan real.
  Perlu diketahui pula, bahwa persamaan yang menghasilkan pernyataan yang
mempunyai nilai kebenaran yang benar setelah dibubuhi kuantor universal, disebut
identitas. Misalnya (x + a)
2
 = x2
 + ax + a
2
, merupakan identitas, sebab ( x) [(x + a)
2

= x2
 + ax + a
2
 ], merupakan pernyataan yang benar.
  Nemun  pada  umumnya  seperti  contoh  di  atas,  bahwa  suatu  persamaan
ataupun  pertidaksamaan  setelah  dibubuhi  suatu  kuantor    bisa  benar  dan  bisa  pula   23
salah.  Hal  ini  tergantung  pada  kalimat  terbuka,  kuantor  dan  himpunan  semesta
penggantinya.

Contoh 21 
a.  ( x   R)  (x2
   0), R = { bilangan  real }, adalah pernyataan yang benar,  sebab
untuk  setiap  x   R,  jika  dikuadratkan  akan menghasilkan  bilangan  positif  atau
nol.

 b. ( y   A) (y   0), A = { bilangan asli }, adalah pernyataan yang salah, sebab
bilangan asli memang lebih besar dari nol tetapi tidak ada yang sama dengan nol. 

c.  (  x   R)( x2
 =  -1) merupakan pernyataan yang  salah,  sebab  tidak ada  satupun
anggota bilangan real yang jika dikuadratkan sama dengan –1. Kuadrat dari setiap
bilangan real adalah positif.

d. (  y   R)( y   0) merupakan pernyataan yang benar, sebab ada anggota bilangan
real yang lebih besar atau sama dengan nol.

2. Pengkuantoran Kalimat Terbuka dengan Dua Variabel
  Seperti sudah Anda ketahui dalam kegiatan belajar modul lain, bahwa untuk
sebuah kalimat terbuka dengan dua variabel, misalnya x dan y dapat dinyatakan
dengan p(x , y) , q(x , y), dan sebagainya. 
  Untuk  keperluan  mengubah  suatu  kalimat  terbuka  dengan  dua  variabel
sehingga menjadi kalimat tertutup yang mempunyai nilai kebenaran, diperlukan dua
buah kuantor. Dalam hal ini ada beberapa definisi dari kombinasi dua buah kuantor
yang akan sangat membantu dalam pembicaraan bagian ini.

Definisi :
(  x ) (   y ) p (x , y)   (  x ) [ (  y ) p (x , y) ], dibacanya “Untuk setiap x
ada y sehingga p(x , y)”. 
   24
Jika  pada  kalimat  terbuka  dengan  dua  variabel,  yaitu  p  (x  ,  y)  hanya
dibubuhkan  satu kuantor  saja, maka bentuk baru  itu masih  tetap dianggap  sebagai
kalimat  terbuka,  tetapi  bentuknya  berubah  menjadi  kalimat  terbuka  dengan  satu
variabel. Adapun  yang  dianggap  variabelnya  adalah  variabel  yang  tidak  dibubuhi
kuantor. Misalnya :
(  x ) p (x , y), kalimat terbuka dengan satu variabel yaitu y.
(   y ) p(x , y), kalimat terbuka dengan satu variabel yaitu x.

Definisi :
  (   y ) (  x ) p (x , y)   (   y )  [ (  x ) p (x , y) ],
  dibacanya : “Ada y sehingga untuk setiap x, p (x , y)”.

Contoh 22 
a. p (x , y) kalimat terbuka : x + 2y = 7.
  (  x ) (   y ) (x + 2y = 7)
  Pernyataan  berkuantor  ini  merupakan  kalimat  tertutup  yang  benar,  karena
menurut definisi di atas, jika sebarang bilangan real disubstitusikan untuk x, maka
ada bilangan  rasional y yang  sesuai,  sehingga untuk x dan y yang bersangkutan
tersebut akan diperoleh jumlah ruas kiri sama dengan 7.
  (  x ) [ (   y ) (x + 2y = 7) ]
  Kalimat  tertutup  ini  benar,  karena menurut  definisi  di  atas  akan  ada  sekurang-
kurangnya satu bilangan real sebagai pengganti y yang memenuhi x + 2y = 7, jika
sebarang  bilangan  real  disubstitusikan  untuk  x,  sehingga  untuk  x  dan  y  yang
sesuai akan diperoleh jumlah ruas kiri sama dengan 7.
  Dari kedua pernyataan berkuantor di atas nilai kebenarannya sama, yaitu
benar. Akibatnya kedua pernyataan itu merupakan pernyataan-pernyataan yang
ekuivalen logis, atau : 
    (  x ) (   y ) (x + 2y = 7)   (  x )  [ (   y ) (x + 2y = 7) ].

b. q(x , y) = (3x + 2y = 5)
  (  x ) (   y ) (3x + 2y = 5), merupakan kalimat tertutup yang benar.   25
  (   y ) (  x ) (x + 2y = 7), merupakan kalimat tertutup yang salah, karena kalimat
ini mempunyai arti bahwa ada sebarang bilangan real y sedemikian, sehingga jika
sebarang  bilangan  real  disubstitusikan  untuk  x,  maka  jumlah  ruas  kiri  sama
dengan 5. Jelas bahwa pernyataan ini tidaklah benar.
    Dari  contoh  dua  ini,  tadi  telah  kita  lihat  bahwa  nilai  kebenaran  dua
pernyataan  berkuantornya  tidak  sama,  berarti  kedua  pernyataan  berkuantor  itu
tidak ekuivalen logis, atau dengan kata lain :
      (  x ) (   y ) (3x + 2y = 5)   (   y ) (  x ) (3x + 2y = 5).
    Sebagai akibatnya, marilah kita perhatikan kalimat-kalimat  tertutup (  x ) (
y ) p (x  , y), dan (   x ) (   y ) p (x  , y), dalam bentuk definisi-definisi seperti
berikut ini.

Definisi : 
  (  x ) (  y ) p (x  , y) dibacanya  : “Untuk tiap x dan untuk tiap y berlaku p (x  ,
y)”.

Definisi :
  (  x) (  y) p (x , y) dibacanya : “ Ada x dan ada y sehingga berlaku p (x , y).

Contoh 23
a.  (   x ) (   y ) (xy = 1)
merupakan kalimat tertutup yang benar, karena memang ada harga x real dan y
real sehingga xy = 1.  
b.  (   x ) ( y ) (x + 2y = x)
merupakan kalimat tertutup yang salah, karena tidak ada bilangan x real untuk
setiap y real yang memenuhi x + 2y = x. Hal ini hanya akan didapat x real untuk
y = 0, sehingga memenuhi kalimat terbuka x + 2y = x.


c. (  x ) (  y ) (x + y = x)   26
merupakan kalimat tertutup yang benar, sebab untuk sebarang x pasti ada
sekurang-kurangnya satu harga y yang memenuhi x + y = x. Dalam hal ini
kebetulan hanya ada satu harga y yang memenuhi x + y = x untuk semua harga
x, yaitu y = 0.

d. (  x ) (  y ) ( xy = yx )
  merupakan kalimat tertutup yang benar, sebab untuk sebarang harga x dan
sebarang harga y, pasti akan memenuhi kalimat terbuka xy = yx (sifat komutatif
atau sifat pertukaran operasi kali).

3. Negasi Pernyataan Berkuantor
  Dalam pembicaraan terdahulu, telah Anda ketahui tentang negasi dari suatu
pernyataan. Jika p sebuah pernyataan, maka negasi dari p ditulis   p akan
mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan dengan pernyataan asalnya. Hal ini
berlaku pada pernyataan berkuantor.
  Bila kita akan menentukan negasi dari suatu pernyataan berkuantor, haruslah
berhati-hati dengan pengertian kedua jenis kuantor yang telah Anda kenal. Terutama
perbedaan tentang arti kuantor universal dan kuantor eksistensial, yaitu tentang arti
kata “semua” dan “beberapa”. Apabila kita perhatikan, bahwa sebenarnya dalam
berbagai variasi bentuk-bentuk pernyataan berkuantor hanyalah ada dua kuantor
saja. Kuantor universal yang berarti “semua” dan kuantor eksistensial yang berarti
“beberapa”.
  Untuk lebih jelasnya, kita tinjau kembali pengertian negasi dari suatu
pernyataan dalam beberapa contoh berikut ini.

Contoh 24 
a.   Jika p  : “Semua bilangan asli adalah bilangan bulat”. Pernyataan  ini merupakan
kalimat  tertutup  yang  mempunyai  nilai  kebenaran  yang  benar  untuk  semua
bilangan  asli.  Karena  itu  negasinya  harus  menyatakan  bahwa  sekurang-
kurangnya  ada  satu  bilangan  asli  yang  bukan  bilangan  bulat,  sehingga
mempunyai nilai kebenaran yang salah, yaitu :   27
        p : “Beberapa bilangan asli bukan bilangan bulat”.

b.  Jika p : “Beberapa bilangan prima adalah bilangan ganjil”. Pernyataan yang
ditentukan merupakan kalimat tertutup yang nilai kebenarannya benar, dan
mengandung pengertian yang menyatakan sekurang-kurangnya ada satu
bilangan prima yang ganjil. Akibatnya, negasinya harus menyatakan semua 
bilangan prima tidak ganjil, dan nilai kebenarannya salah, secara lengkapnya
yaitu :
 p : “Semua bilangan prima tidak ganjil”, 
atau
 p : “Tidak ada bilangan prima yang ganjil”.
  Dari kedua contoh di atas dapatlah kita tarik beberapa kesimpulan yang akan
sangat berguna dalam menentukan negasi dari suatu pernyataan berkuantor, yaitu :
1.  Jika pernyataan : Semua A ialah B, 
maka negasinya : Beberapa A bukan B.
2.  Jika pernyataan : Beberapa A ialah B,
maka negasinya : Semua A bukan B,
                           : Tidak ada A yang merupakan B.
  Dua buah kesimpulan di atas dapat pula kita tulis dalam simbol logika
berkuantor sebagai berikut :
1.  (   x ) p(x) negasinya    [ (   x ) p (x) ]
2.  (   x ) p(x) negasinya    [ (   x ) p(x) ]
Jika lebih jauh lagi membandingkan diantara kesimpulan dan hal yang logis
tentang negasi seperti kenyataan-kenyataan di atas, maka akan diperoleh postulat-
postulat yang sangat penting tentang negasi pernyataan yang memuat sebuah
kuantor, yaitu : 
           1.   [ (   x ) p(x) ]   (   x ) [  p(x) ]
            2.   [ (   x ) p(x) ]   (   x  ) [   p(x) ]
Postulat yang pertama dapat dibaca sesuai dengan pengertian yang bersifat
logis dan umum, yaitu “tidak menerima bahwa p(x) memuat semua x” ekuivalen
logis dengan “menerima bahwa ada x yang tidak termuat dalam p(x).   28

Contoh 25
a.  “Tidak semua orang akan mati “adalah ekuivalen logis dengan “Ada orang yang
tidak akan mati”.
b.  “Tidak semua bunga berwarna merah” berarti “Ada bungan yang tidak berwarna 
merah”.
Demikan juga postulat yang kedua, sesuai pula dengan pengertian yang
bersifat logis dan umum, yaitu : “Tidak menerima bahwa ada x yang termuat dalam
p(x)” ekuivalen logis dengan “Menerima bahwa semua x tidak termuat dalam p(x)”.

Contoh 26
a. “Tidak ada orang yang hidup terus” adalah ekuivalen logis dengan “Semua orang
tidak akan hidup terus”.

b. “Tidak ada siswa yang sakit” sama artinya dengan “Semua siswa tidak ada yang
sakit”. 
  Untuk lebih memahami kedua postulat di atas, cobalah Anda tentukan negasi
dari tiap pernyataan contoh berikut sebelum langsung melihat jawabannya. 

Contoh 27
a. (   x   B) ( x + 3 > 0 )     , B = { bilangan bulat }

b. (   x   R ) ( x2
 + 1   0 )   , R = { bilangan real }

c. (   x ) ( x2
 = -1 )

d. Tiada kucing mirip anjing

e. Beberapa matriks tidak mempunyai invers perkalian.

Jawab :   29
a. Negasi dari : (   x   B) ( x + 3 > 0 )
    adalah         :   [ (   x   B) ( x + 3 > 0 ) ]
                           (   x   B )   ( x + 3 > 0 )
                           (   x   B ) ( x + 3   0 )

b. Negasi dari : (   x   R ) ( x2
 + 1   0 )
    adalah         :   [ (   x   R ) ( x2
 + 1  0 ) ]
                             (   x   R)   ( x2
 + 1   0 ) ]
                             (   x   R)  ( x2
 + 1 > 0 ) ]
 
c. Negasi dari : (   x ) ( x2
 = -1 )
    adalah         :   [(   x ) ( x2
 = -1 ) ]
                            (   x )   ( x2
 = -1 )
                           (   x ) ( x2
   -1 )

d. Negasi dari   : “Tiada kucing mirip anjing”,
    ekuivalen dengan  : “Semua kucing tidak mirip anjing”.
    Negasinya            : “Beberapa kucing mirip anjing”                         
    Atau  : “Ada kucing yang mirip anjing”.
                             
e. Negasi dari   : “Beberapa matriks tidak mempunyai invers perkalian”, 
    adalah           : “Semua matriks mempunyai invers perkalian”. 
                  Dari tadi, pembahasan negasi dari pernyataan berkuantor ini dikhususkan
pada pernyataan-pernyataan dengan satu kuantor saja. Namun dengan postulat dan
definisi dari bagian terdahulu itu, dapat pula dipakai untuk menyangkal kalimat
tertutup yang memuat dua kuantor.

Contoh 28
Tulislah negasi-negasi dari kalimat tertutup berikut, dengan ketentuan x dan y
adalah bilangan real.
a. (   x) (   y ) ( 2x + y = 4 )   30

b. (  x ) (   y ) ( x + y   y + x )

c. (   x ) (   y ) (xy = yx ).

Jawab :
a.   (   x) (   y ) ( 2x + y = 4 )     (   x) [ (   y ) ( 2x + y = 4 ) ]
   (   x )   [ (   y ) ( 2x + y = 4 ) ] 
   (   x )  [ (  y )   ( 2x + y = 4 ) ] 
   (   x )  (  y ) ( 2x + y   4 )

b.   (  x ) (   y ) ( x + y   y + x )     (  x ) [ (   y ) ( x + y   y + x ) ]
   (   x )   [ (   y ) ( x + y   y + x ) ]
   (   x ) [ (  y )   ( x + y   y + x ) ]
   (   x ) (  y ) ( x + y = y + x ) 
c.   (   x ) (   y ) (xy = yx )      (   x ) [ (   y ) (xy = yx ) ]
  (  x )   [ (   y ) (xy = yx ) ]
    (  x ) [ (  y )   (xy = yx ) ]
   (  x ) [ (  y ) (xy   yx ) ]
  Apabila diperhatikan nilai kebenaran dari tiap pernyataan berkuantor di atas,
ternyata  pernyataan  contoh  satu  adalah  benar  dan  negasinya  adalah  salah.  Nilai
kebenaran  pernyataan  contoh  dua  adalah  salah  dan  negasinya  benar.  Sedangkan
contoh pernyataan tiga adalah benar dan negasinya jelas salah.
  Sebelum mengakhiri pembicaraan kuantor ini, ada suatu hal yang perlu untuk
disepakati,  yaitu  jika  dalam  suatu  kuantor  tidak  ditentukan  himpunan  semesta
pengganti  variabelnya,  maka  yang  dimaksudkan  adalah  himpunan  yang  sifatnya
lebih  luas.  Misalnya  dalam  pembicaraan  bentuk-bentuk  aljabar  maka  himpunan
semesta  penggantinya  adalah  himpunan bilangan  real.  Perlu  pula  diketahui  bahwa
pernyataan berkuantor dan negasinya dapat pula disajikan dengan bantuan diagram
Venn.  Bahasan  tentang  diagram  Venn  dan  pernyataan  berkuantor  dapat  Anda
pelajari secara utuh pada modul mata kuliah Pengantar Dasar Matematika.    31
D. Penarikan Kesimpulan
  Dalam  bahasan  logika  matematika  banyak  dilakukan  kegiatan  penalaran
yang  berhubungan  dengan  berbagai  pernyataan.  Kegiatan  penalaran  ini  meliputi
aktivitas  berpikir  yang  abstrak,  karena  kegiatannya  berkaitan  dengan  penarikan
kesimpulan dari  sebuah proposisi atau  lebih. Untuk  selanjutnya kegiatan penalaran
ini dilambangkan dengan sesuatu yang disebut argumen.
1. Argumen
  Sebuah  argumen  dapat  didefinisikan  sebagai  kelompok  proposisi  atau
pernyataan.  Salah  satu  dari  proposisi  atau  pernyataan  itu  diturunkan  dari  yang
lainnya  yang  dipandang  sebagai  dasar  yang  satu  itu.  Dengan  kata  lain,  sebuah
argumen  adalah  suatu  kelompok  proposisi,  sehingga  untuk  proposisi  yang  satu
diharapkan  mengikuti  proposisi  yang  lain  yang  dianggap  sebagai  dasar  bagi
kebenaran yang satunya itu. 
Setiap  argumen  terdiri  dari  pernyataan-pernyataan  tertentu  dan  pernyataan
lain  yang  dapat  mengikutinya  secara  logis.  Pernyataan-pernyataan  tertentu  itu
disebut  premis,  sedangkan  pernyataan  lain  disebut  konklusi,  dalam  bahasa Yunani
syllogisme.
  Untuk selanjutnya, kita diminta menarik konklusi dari sejumlah premis yang
ditentukan. Seandainya konklusi yang diturunkan ini mengikuti secara logis premis-
premis  tertentu  yang  diberikan,  maka  argumen  tersebut  dikatakan  valid  (syah,
shahih, atau absah), jika tidak demikian dikatakan invalid.
  Pengertian premis dan konklusi adalah relatif, artinya sebuah pernyataan atau
proposisi  dapat  berperan  sebagai  premis  pada  suatu  argumen,  tetapi  ia  dapat
berberan pula sebagai konklusi pada argumen yang lain.

Contoh 29 
(a) . 1. Semua pegawai negeri dalam KORPRI
 2. Semua KORPRI adalah penerima gaji
       3. Jadi semua pegawai negeri penerima gaji.
(b). 1. Semua pegawai negeri adalah penerima gaji.
       2. Semua penerima gaji adalah karyawan   32
       3. Jadi pegawai negeri adalah karyawan
  Pada contoh (a) dan (b) di atas, pernyataan-pernyataan (1) dan (2) dinamakan
premis-premis, sedangkan pernyataan (3) dinamakan konklusi. Sedangkan konklusi
pada  argumen  pertama,  yaitu  pernyataan  (3)  pada  contoh  (a),  merupakan  premis
pada argumen yang kedua, yaitu pernyataan (1) pada contoh (b).
Perlu  diketahui  pula  bahwa  ada  yang  menyebutkan  premis  mayor  untuk  premis-
premis yang pertama dan premis minor untuk premis-premis yang kedua.
  Selain pengertian premis dan konklusi itu relatif, kita harus berhati-hati pula
mengenai  pengertian  valid  dan  invalid  dari  sebuah  argumen.  Persoalan mengenai
valid  atau  invalid  sebuah  argumen  harus  dibedakan  dengan  persoalan  mengenai
benar atau salah sebuah pernyataan.
  Sebagai contoh, konklusi yang benar dapat ditarik secara valid dari premis-
premis yang salah atau dari campuran premis yang salah dengan yang benar.

Contoh 30
a. Hitler seorang Polandia                           ( S )
    Semua orang Polandia orang Eropa        ( B )
    Jadi Hitler orang Eropa                            ( B )

Dalam  contoh  pertama  ini,  nilai  kebenaran  konklusinya  adalah  benar  yang
ditarik  secara valid dari premis pertama yang nilai kebenarannya  salah dan premis
yang kedua nilai kebenarannya benar,

b. Hitler seorang Polandia                     ( S )
    Semua orang Polandia orang Asia     ( S )
     Jadi Hitler orang Asia                        ( S )   
  Dalam  contoh  yang  kedua  ini,  kebenaran  konklusinya  salah  yang  ditarik
secara valid dari dua premis dengan nilai kebenaran yang salah. Sebaliknya, sebuah
argumen tidaklah harus valid, walaupun premis-premisnya serta konklusinya benar. 

c. 100 adalah bilangan genap                      ( B )
    Setiap bilangan genap adalah real           ( B )   33
    Jadi 101 adalah bilangan real                  ( B )

  Semua  pernyataan  dalam  contoh  tiga  ini  adalah  benar,  tetapi  semua  orang
dapat  mengetakan  bahwa  konklusinya  tidak  mengikuti  secara  logis  dari  premis-
premis. Dengan kata lain argumen ini adalah invalid.
  Jadi dapatlah kita ketahui, bahwa suatu pernyataan dapat merupakan premis
atau konklusi bergantung pada konteksnya. Pernyataan  itu merupakan premis, bila
muncul  sebagai  asumsi  dalam  argumen  untuk  kepentingan  pembuktian  suatu
pernyataan  lain.  Tapi  pernyataa  itu  merupakan  konklusi,  bila  dalam  argumen
tersebut muncul sebagai hal yang diminta untuk dibuktikan berdasarkan pernyataan-
pernyataan lain yang diasumsikan.
  Sedangkan  valid  dan  tidak  validnya  sebuah  argumen,  tidaklah  tergantung
pada  nilai  kebenaran  dari  premis-premis  dan  konklusinya,  tetapi  tergantung  pada
penarikan  konklusi  dari  premis-premisnya.  Perhatikan  kembali  contoh  30(a),  (b),
dan (c) di atas.
  Perlu  diketahui  pula  bahwa  ada  dua  macam  argumen,  yaitu  argumen
deduktik  (deductive  argument).  Deduktif  logika  mempunyai  tugas  untuk
menjelaskan  sifat  dari  hubungan  yang  berlaku  antara  premis  dan  konklusi  dalam
sebuah  valid  argumen,  serta  memberikan  teknik  untuk  membedakan  valid  dan
invalid  dari  argumen  tersebut.  Sedangkan  dalam  argumen  induktif  hanya
memerlukan  tuntutan  bahwa  premis-premisnya  memberikan  sesuatu  dasar  untuk
konklusinya.
  Khusus  dalam  modul  ini  yang  akan  dibahas  hanyalah  untuk  argumen
deduktif,  sedangkan  argumen  induktif  termasuk  dalam  logika  induktif.  Untuk
seterusnya yang dimaksudkan dengan argumen adalah argumen deduktif.
2. Aturan Penyimpulan 
  Jika  Anda  akan  melakukan  penyimpulan,  maksudnya  tentu  untuk
menemukan  kebenaran.  Untuk  melaksanakan  kegiatan  tersebut,  pola  berpikirnya
bertitik  tolak  dari  pengetahuan  yang  sudah  ada,  artinya  berdasarkan  pada  hal-hal
yang  diketahui  benar,  yaitu  hal-hal  yang memang  benar,  atau  hal-hal  yang  benar-  34
benar  salah. Dengan kata  lain  tentunya kita bertolak dari hal-hal yang mempunyai
nilai kebenaran.
  Dalam bentuk validitas pola berpikir  suatu argumen, ada pengetahuan yang
menjadi  dasar  dari  konklusi  itu,  yaitu  premis-premis.  Jadi  seperti  sudah  diketahui
bahwa  semua  proposisi  dalam  premis  harus  benar.  Syarat  ini  adalah  syarat  yang
pertama  untuk  memperoleh  konklusi  yang  benar  dalam  hubungannya  dengan
pemilihan proposisi pada kegiatan validitas suatu argumen. 
  Selain  dari  itu,  di  dalam  kegiatan  validitas  argumen  ada  pula  hal-hal  yang
meliputi  penyusunan  proposisi-proposisinya.  Proposisi-proposisi  yang  menjadi
premis yang dijadikan dasar penyimpulan haruslah mempunyai susunan yang tepat.
Kalau untuk menarik kesimpulan yang logis, misalnya dalam hal-hal berikut ini. 

Contoh 31
a. Semua segitiga adalah gambar datar                                  (B)
    Semua segiempat adalah gambar datar  (B)
 Jadi segitiga adalah segiempat  (S)

b.  Semua bilangan asli adalah bilangan real  (B)
Semua bilangan bulat adalah bilangan real  (B)
Jadi bilangan asli adalah bilangan bulat  (B)

  Kedua  contoh  di  atas  memperlihatkan  bagaimana  susunan  proposisi-
proposisi yang menjadi premis tidak tepat, sehingga tidak dapat dijadikan dasar titik
tolak  untuk  menarik  kesimpulan  yang  valid.  Sebagai  lawannya,  Anda  perhatikan
contoh berikutnya.

c.  Semua segitiga adalah poligon  (B)
Semua poligon adalah gambar datar  (B)
  Jadi segitiga adalah gambar datar  (B)
   35
d. Semua bilangan bulat adalah bilangan real  (B)
  Semua bilangan asli adalah bilangan bulat  (B)
  Jadi bilangan asli adalah bilangan real  (B)

  Dalam  contoh  31(c)  dan  31(d)  di  atas,  sususnan  dari  proposisi-proposisi  yang
menjadi premis adalah tepat. Jika kegiatan pola berpikir di atas dikosongkan dari
isi pengertian-pengertian di dalamnya, dan digantikan dengan  tanda-tanda huruf
tertentu, maka kita dapatkan pola penyusunan berikut :
Semua a dalah b
 b adalah c
 Jadi a dalah c          
atau    
Semua a dalah c
 b adalah a
                                                       Jadi b dalah c

  Kedua pola kegiatan penarikan kesimpulan di atas adalah sama, yaitu
didapatnya penarikan kesimpulan untuk argumen yang valid.
  Semua argumen apapun sebagai isinya, sebagai pengganti dari huruf-huruf a,
b,  dan  c,  asalkan  bentuk  susunannya  tepat  dipastikan  tentu  konklusinya  benar  dan
merupakan argumen yang valid. Jadi, huruf a, b, dan c dapat diganti oleh pengertian
apa  saja,  asal  premis-premisnya  benar  konklusinya  juga  tentu  benar.  Misalnya
bentuk itu dijadikan kegiatan pola berpikir berikut:

e. Semua mojang priangan itu wanita yang luwes
Yuliawati itu mojang priangan
Jadi Yuliawati itu wanita yang luwes
  Namun  kita  harus  berhati-hati  pula  dalam menentukan  validitas  ini,  karena
walaupun  pola  susunannya  sama,  akan  tetapi  kalau  struktur  proposisi  di  dalam
premis  berubah,  maka  mungkin  didapat  argumen  yang  invalid.  Misalnya  dalam
contoh  31(e)  di  atas  “Semua mojang  priangan”  diganti  dengan  “Beberapa mojang   36
priangan”, maka struktur premis pertama berubah dan argumennya menjadi invalid,
yaitu :

f.  Beberapa mojang priangan wanita luwes
    Yuliawati mojang priangan
Jadi Yuliawati adalah wanita luwes

  Jelaslah  bahwa  penarikan  kesimpulan  di  atas  tidak  dapat  diturunkan  dari
premis-premisnya, walaupun kedua premisnya adalah benar, Kesesasatan penarikan
kesimpulan  dari  premis-premis  yang  benar,  sehingga  didapat  konklusi  yang  salah
seperti  di  atas  disebut  kesesatan  non  squitur,  konklusinya  tidak mengikuti  secara
logis dari premis-premisnya.
  Dalam  proses  penalaran  dari  suatu  argumen  yang  valid,  proses  berpikirnya
berdasarkan premis-premis yang benar dan penarikan konklusinya yang benar pula.
Berdasarkan asumsi bahwa argumen itu valid, maka ada hubungan kebenaran antara
proposisi yang menjadi premis dan proposisi yang menjadi konklusi. Hal  ini dapat
dirumuskan dalam beberapa aturan penyimpulan berikut : 
a.  Jika premis-premisnya benar, maka konklusi argumen  itu adalah benar. Aturan
ini  cukup  jelas,  karena  konklusi  itu  terkandung  dalam  premis,  sehingga  jika
premis-premisnya  benar,  tentu  konklusinya  harus  benar  pula.  Sebaliknya  jika
konklusinya  salah, maka  kesalahan  itu  disebabkan  oleh  premisnya  yang  sudah
salah. Kesalahan konklusi sudah terkandung dalam premis yang salah, sehingga
didapatkan  suatu  aturan  penyimpulan  yang  kedua,  yang  dirumuskan  seperti
berikut :

b.   Jika konklusi suatu argumen salah, maka premis-premisnya juga salah. Akan
tetapi jika premis-premis argumen itu salah belum tentu konklusinya salah.
Sebagai akibatnya didapatkan aturan penyimpulan yang ketiga yaitu : 

c.      Jika premis-premisnya  salah, konklusi  argumen  itu bisa benar bisa pula  salah.
Akan  tetapi  jika  konklusinya  benar  belum  tentu  premisnya  benar,  artinya   37
premisnya  dapat  salah.  Sebagai  akibatnya  diperoleh  aturan  penyimpulan  yang
keempat.

d.   Jika konklusinya benar, premis-premis argumen bisa benar bisa salah.

Selain dari contoh-contoh terdahulu yang merupakan pemakaian dari aturan-
aturan  di  atas,  sekarang  kita  tinjau  beberapa  contoh  lain  untuk  memperlihatkan
kebenaran dari aturan-aturan di atas yang belum diberikan dalam contoh terdahulu.

Contoh 32
a. 9 adalah bilangan prima                                       (S)
  Semua bilangan prima adalah ganjil  (S)
  Jadi 9 adalah bilangan ganjil  (S)

b. Napoleon adalah orang Inggris  (S)
  Semua orang Inggris adalah orang Eropa  (B)
  Jadi Napoleon adalah orang Eropa  (B)

c. Napoleon adalah orang Perancis  (B)
  Semua orang Perancis orang Amerika   (S)
  Jadi Napoleon adalah orang Amerika  (S)

E. Pendekatan Pembelajaran Logika Matematika
  Direktorat  SLTP  menyampaikan  hasil  studi  yang  menunjukkan  bahwa
pembelajaran matematika cenderung  text book oriented dan  tidak dikaitkan dengan
kehidupan  sehari-hari.  Memang  benar  bahwa  pembelajaran  konsep-konsep
matematika  cenderung  abstrak  dengan  menggunakan  pendekatan  yang
menitikberatkan pada ceramah sehingga konsep matematika menjadi sulit dipahami
oleh  siswa.  Pembelajaran  matematika  di  sekolah  bersifat  rote  learning  (hafalan)
kurang mengembangkan pembelajaran yang bermakna (meaningful learning).   38
  Di  lain  pihak,  menurut  Kurikulum  2004  disebutkan  pula  bahwa  standar
kompetensi  matematika  harus  dielaborasi  oleh  siswa  dan  guru  dalam  kegiatan
pembelajaran. Standar kompetensi yang dimaksud bukanlah penguasaan matemtika
sebagai  ilmu, melainkan  penguasaan  akan  kecakapan matematika  yang  diperlukan
untuk  dapat  memahami  dunia  sekitar,  mampu  bersaing,  dan  berhasil  dalam
kehidupan. Standar kompetensi dalam pembelajaran matematika haruslah mencakup
pemahaman  konsep  matematika,  komunikasi  matematik,  koneksi  matematik,
penalaran,  pemecahan  masalah,  serta  sikap  dan  minat  yang  positif  terhadap
matematika.
  Oleh  karena  itulah  banyak  hal  yang  bias  kit  alkukan  dalam  pembelajaran
matematika  di  sekolah  sehingga  supaya  meningkatkan  kualitas
pembelajaranmatematika di kelas dan pada gilirannya meningkatkan prestasi belajar
matematika sesuai  tuntutan kurikulum yang berlaku. Perbelajaran berbasis masalah
(Problem based Learning) adalah salah satu inovasi yang dapat dikembangkan oleh
guru  sebagai  perancang  dan  organisator  pembelajaran  sehingga  para  siswa
mendapatkan  kesempatan  untuk  memahami  dan  memahami  matematika  melalui
aktifitas belajar.
  Konsep-konsep  logika  matematika  merupakan  salah  satu  bahasan  dalam
pembelajaran  matematika  yang  paling  memungkinkan  dikembangkan  melalui
pendekatan pembelajaran berbasis masalah. Sebagai contohnya bagaimana konsep-
konsep  logika  matematika  disajikan  sebagai  implementasi  kurikulum  di  kelas.
Penyajian  dimulai  dengan menghadapkan  siswa  pada masalah  nyata  atau masalah
yang  disimulasikan,  siswa  bekerja  sama  dalam  kelompok  kecil  untuk
mengembangkan keterampilan pemecahan masalah, kemudian siswa mendiskusikan
strategi  untuk  bernegoisasi    membangun  pengetahuannya.  Segmen-segmen
pembelajaran  berbasis masalah mencakup  engagement,  inquiry  and  investigation,
performance, debriefing.
  Sebagai  contoh,  mintalah  pada  tiap  kelompok  (4  sampai  6  orang)  untuk
memberikan  contoh  pernyataan  implikasi  yang  dibangun  dari  permasalahan
kehidupan sehari-hari. Dengan bimbingan dan arahan guru pada tiap kelompok dan
melalui  penjelasan  awal  bahwa  pernyataan  p    q  adalah  bentuk  pernyataan   39
implikasi  (kondisional),  diharapkan  tiap  kelompok mampu membuat  contoh  yang
mengacu pada pendekatan konstruktivis  sebagai  langkah awal dalam pembelajaran
berbasis  masalah.  Langkah  berikutnya  dihadapkan  pada  mengeksplorasi,
menyimpulkan  serta  mendistribusikan  informasi  sebagai  dan  jika  pemahaman
konsep  implikasi (p   q), yaitu untuk konsep-konsep konvers (q   p),  invers ( p
  q), dan kontrapositif ( q    p). Sedangkan  langkah ketiga diharapkan sampai
…..  temuan-temuan  dari  konsep-konsep  tersebut,  yaitu  menemukan  nilai-nilai
kebenaran dari konsep-konsep pernyataan tersebut. Kemudian sebagai langkah akhir
melakukan  pengujian  (bisa  melalui  table  kebenaran)  dan  refleksi  atas  efektivitas
pendekatan yang digunakan.
  Dalam  arahan  dan  bimbingan  pada  tahap  awal  diharapkan  tiap  kelompok
mampu memberikan  contoh  pernyataan  implikasi  yang  dibangun  dari  lingkungan
kehidupannya, misal
1. Implikasi   : Jika ia orang Indonesia maka ia orang Asia                         (B)
    Konvers  : Jika ia orang Asia maka ia orang Indonesia                         (S)
    Invers  : Jika ia bukan orang Indonesia maka ia bukan orang Asia    (S) 
    Kontrapositif  : Jika ia bukan orang Asia maka ia bukan orang Indonesia    (B)

2. Implikasi   : Jika dua garis sejajar maka dua garis itu tidak berpotongan (B)
    Konvers  : Jika dua garis tidak berpotongan maka dua garis itu sejajar (S)
    Invers  : Jika dua garis tidak sejajar maka dua garis itu berpotongan (S) 
    Kontrapositif  : Jika dua garis berpotongan maka dua garis itu tidak sejajar (B)

Melalui pengecekan dengan table kebenaran, haruslah sampai pada bentuk
1. Nilai kebenaran implikasi p   q = BSBB
2. Nilai kebenaran konvers q   p = BBSB
3. Nilai kebenaran invers  p    q = BBSB
4. Nilai kebenaran kontrapositif  q    p = BSBB
Diharapkan  sampai  pada  kesimpulan  bahwa  nilai  kebenaran  pernyataan  implikasi
sama  dengan  nilai  kebenaran  pernyataan  kontrapositifnya.  Sedangkan  nilai   40
kebenaran konvers sama dengan nilai kebenaran inversnya. Mereka diharapkan pula
untuk sampai pada bentuk ekuivalensi logis
  1. (p   q)    ( q    p)        
  2. q   p    ( p    q)        
SEbagai  pengecekannya  atau  pembuktiannya  haruslah  sampai  pada  penggunaan
table  kebenaran,  dan  hasilnya  pasti  merupakan  tautology  (B  semua),  bukan
kontradiksi (S semua) dan bukan kontingensi (sebagian B dan sebagian S).

F. Kemungkinan Kesalahan Konsep dalam Pembelajaran Logika Matematika
  Ada  suatu  catatan  yang  perlu  kita  ketahui  sehubungan  dengan  kesalahan
konsep dalam pembelajaran logika matematika di sekolah. Hal ini penting untuk kita
ketahui  sebagai  antisipasi  sekaligus  sebagai pengelaman yang berharga bagi  setiap
calon guru maupun guru matematika. Namun tentu saja tidak semua kesalahan atau
kemungkinan kesalahan konsep dapat kita diskusikan di sini. Dalam hal ini hanyalah
suatu  contoh  kesalahan  konsep  yang  bersifat  mendasar,  sehingga  mengakibatkan
fatalnya pembelajaran matematika yang bermakna.
  Berdasarkan  temuan penulis mengkaji buku-buku matematika  sekolah yang
banyak beredar di  lapangan  ada beberapa buku  yang penulis pandang  telah  terjadi
kesalahan  konsep  yang  sangat mengganggu  dan merugikan  bagi  guru  dan  peserta
didik yang mempelajari matematika, khususnya untuk konsep-konsep  yang  sedang
kita diskusikan sekarang  ini (logika matematika). Misalnya  tentang konsep kalimat
matematika tertutup (pernyataan/ preposisi) dan kalimat matematika terbuka.
  Ada beberapa buku yang mendefinisikan kalimat  terbuka  (bukan preposisi)
adalah kalimat matematika yang memuat variabel.


Contoh 37
a. x + 2 = 5
b. Ia adalah seorang guru matematika
c. y2
 + y – 6 = 0
d. x + 2   5   41
e. (x + 2)
2
 = x2
 + 4x + 4
f. x + 2 > x + 5
  Contoh-contoh  (a),  (b),  (c),  dan  (d) memang memuat  variable.  Contoh  (a)
variabelnya  adalah  x,  contoh  (b)  variabelnya  adalah  “ia”,  contoh  (c)  varabelnya
adalah y dan  contoh  (d) variabelnya  adalah x. Contoh-contoh  (a),  (b),  (c), dan  (d)
adalah kalimat  terbuka, karena belum mempunyai nilai kebenaran. Contoh  (a) dan
(c)  adalah  bentuk  persamaan  (equation)  sedangkan  contoh  (d)  adalah  bentuk
pertidaksamaan  (inequation).  Sedangkan  contoh  (e)  dan  (f)  walaupun  memuat
variable  yaitu  x,  bukanlah  kalimat  terbuka,  tetapi  kedua-duanya  adalah  kalimat
tertutup, sebab mempunyai nilai kebenaran. Contoh (e) selalu benar unttuk bilangan
variable x. Jadi contoh (e0 adalah kalimat matematika tertutup yang bernilai benar.
Contoh  (f)  adalah  kalimat  tertutup  yang  nilai  kebenarannya  salah,  sebab  untuk
berbagai  variabel  x  akan  selalu  bernilai  salah.  Contoh  (f)  adalah  sebuah  bentuk
ketidaksamaan (inequality).
  Jadi, tidaklah tepat kalau mendefinisikan kalimat matematika terbuka sebagai
kalimat matematika yang memuat variabel, karena ada kalimat matematika tertutup
yang memuat  variabel.  Nampaknya  akan  lebih  tepay  jika mendefinisikan  kalimat
terbuka  sebagai  kalimat  yang  tidak  (yang  belum)  mempunyai  nilai  kebenaran,
artinya  kalimat  yang  tidak  benar  ataupun  tidak  salah. Sedangkan  lawannya  adalah
kalimat matematika tertutup (preposisi), yaitu kalimat matematika yang mempunyai
nilai  kebenaran,  artinya  kalimat  yang  sudah  pasti  benarnya  atau  sudah  pasti
salahnya, tidak dua-duanya pada saat yang sama.
  Demikianlah  sedikit  catatan  tentang  kesalahan  konsep  yang  terjadi  dalam
pembelajaran  konsep-konsep  logika matematika  di  SMA. Malahan  tidak menutup
kemungkinan  masih  ada  kesalahan-kesalahan  konsep  yang  mungkin  pernah
ditemukan oleh para pembaca. Oleh karenanya melalui diskusi-diskusi baik dengan
sesama guru matematika di sekolah maupun dalam kegiatan musyawarah guru mata
pelajaran matematika  (MGMP)  ada  baiknya membahas  permasalahan miskonsepsi 
sesuai pengalaman kita masing-masing.
  Malahan ada baiknya pula model-model pembelajaran yang bersifat  inovasi
seperti  telah  didiskusikan  di  atas  untuk  dicoba  baik  dalam mengatasi miskonsepsi   42
maupun  untuk  bahasan-bahasan  lainnya.  Akan  lebih  baik  lagi  kalau  kegiatan
semacam ini dijadikan sebagai kegiatan penelitian tindakan kelas (classroom action
research). Kegiatan penelitian  tindakan kelas (PTK)  ini merupakan salah satu jenis
karya  ilmiah  dalam  pengembangan  profesi  yang  akan memberikan  dampak  positif
kepada kita sebagai guru matematika yang professional.
  Selanjutnya  untuk  lebih  memantapkan  pemahaman  Anda  terhadap  materi
Kegiatan Belajar di atas, cobalah kerjakan soal-soal Latihan  berikut.

Latihan 

1. Tulislah masing-masing tiga buah contoh
a. penyataan yang benar
b. pernyataan yang salah
c. bukan pernyataan

2.  Jika p : Semua kucing mempunyai ekor
Dan q : 3 adalah bilangan genap 
Susunlah pernyataan-pernyataan tunggal tersebut ke dalam suatu pernyataan 
majemuk dengan operasi logika sebagai berikut, dan tentukan pula nilai
kebenarannya
a.   p     q
b.  p     q
c.   p   q

3. Sebutkanlah ucapan dari tiap pernyataan berkuantor dengan simbol logika seperti
berikut :
a. (  x   R) (x2
 + 5x + 6 = 0)
b. (   x   R) [ x2
 – 1 = ( x + 1) ( x – 1) ]
c. (  y ) (  x ) ( x + y = 0 )

4. Tentukan negasi dari pernyataan berikut :    43
a.  (   x ) [ x2
 – 4 = ( x + 2 ) ( x – 2 ) ]
b.  (   x ) ( x2
 + 2x – 8 = 0 )
c.  (  x ) (  y ) ( x + y = x )

5. Buktikanlah validitas atau invaliditas argumen berikut
Jika Fakultas Tarbiyah menghasilkan guru matematika, maka Fakultas Tarbiyah
memiliki Program Studi  Pendidikan Matematika.
    Fakultas Tarbiyah memiliki Program Studi Pendidikan Matematika.
Jadi Fakultas Tarbiyah menghasilkan guru matematika.

  Setelah  Anda  mengerjakan  soal-soal  Latihan    di  atas,  bandingkanlah
jawabannya dengan petunjuk (rambu-rambu) jawaban berikut.

Petunjuk Jawaban Latihan 
1. a. Misalnya: Ada 12 bulan dalam satu tahun.
    b. Misalnya: 13 habis dibagi oleh 2.
    c. Misalnya: Ini adalah barang yang silindris.

2. a.  Beberapa kucing tidak mempunyai ekor atau 3 bukan bilangan genap (B). 
    b. Semua kucing mempunyai ekor dan 3 bukan bilangan genap (B).
  c. Beberapa kucing tidak mempunyai ekor atau 3 bilangan genap (S).

3. a. Ada x anggota bilangan real sehingga berlaku x2
 + 5x + 6 = 0
b. Untuk semua x anggota bilangan real berlaku x2
 – 1 = (x + 1) (x – 1)
c. Ada sekurang-kurangnya satu harga y, sehingga untuk semua harga x berlaku 
x + y = 0.


4. 1. a.   (   x ) [ x2
 – 4 = ( x + 2 ) ( x – 2 ) ] = (   x )   [ x2
 – 4 = ( x + 2 ) ( x – 2 ) ]
                                                                    = (   x ) [ x2
 – 4   ( x + 2 ) ( x – 2 ) ]
   44
   b.   (   x ) ( x2
 + 2x – 8 = 0 ) = (   x )  ( x2
 + 2x – 8 = 0 ) 
                                                  = (   x ) ( x2
 + 2x – 8   0 )
   c.   (  x ) (  y ) ( x + y = x ) = (   x ) ( y) ( x + y   x )

5. a. Premis mayor: Kalau pedal gas ditekan, mobil berjalan cepat.
     Premis minor: Pedal gas tidak ditekan. 
b. Konklusinya: Mobil berjalan lambat.
  c. Jika: p = pedal gas ditekan.
                 q = mobil berjalan cepat
         maka argumen soal di atas menjadi
p   q
 p
 q
  Bentuk ini merupakan bentuk invaliditas argumen MA.

    Selanjutnya buatlah rangkuman dari uraian materi Kegiatan Belajar 1 di atas,
kemudian bandingkanlah dengan alternatif rangkuman berikut.

Rangkuman

1.  Pernyataan
  Pernyataan  atau  preposisi  atau  kalimat  matematika  tertutup  adalah  kalimat
matematika yang mempunyai nilai kebenaran, artinya sudah pasti benarnya atau
sudah pasti salahnya dan tidak mempunyai dua arti. Sedangkan lawannya adalah
kalimat matematika  terbuka  atau  bukan pernyataan  atau  bukan  preposisi,  yaitu
kalimat  yang  belum  mempunyai  nilai  kebenaran,  artinya  belum  mempunyai
kepastian benar atau salah.

2.  Pernyataan Tunggal dan Pernyataan Majemuk
Pernyataan tunggal adalah pernyataan sederhana yang hanya terdiri dari satu
kalimat,  dan  tidak mengandung  suatu  pernyataan  lain  sebagai  komponen  atau   45
komponen  bagiannya.  Sebaliknya  pernyataan mjemuk  adalah  pernyataan  yang
mengandung pernyataan lain sebagai komponennya.

3.  Nilai Kebenaran
Karena setiap pernyataan hanyalah benar atau salah, maka kepada setiap
pernyataan itu diberi nilai kebenaran, iatu benar (B) dan salah (S). Dalam hal ini
nilai kebenaran itu mencakup pula nilai kebenaran pernyataan tunggal maupun
pernyataan majemuk.

4. Operasi Logika
    Operasi-operasi  logika  matematika  adalah  kata-kata  perangkai  untuk
membentuk  pernyataan  majemuk  dari  beberapa  pernyataan  tunggal.  Operasi-
operasi  logika  itu  meliputi  negasi  (penyangkalan:  ),  konjungsi  (dan:  ),
disjungsi  (atau:  ),  implikasi  (jika maka:  )  dan  biimplikasi  (jika  dan  hanya
jika:  ).  Urutan  pemakaian  operasi-operasi  logika  berturut-turut  negasi,
konjungsi,  disjungsi,  implikasi  dan  biimplikasi,  kecuali  jika  ada  tanda  kurung,
maka urutan pengerjaan berturut-turut kurung kecil (  ), kurung kurawal {   } dan
terakhir kurung besar [   ].

5. Tabel Kebenaran
    Tabel  kebenaran  adalah  tabel  untuk  memudahkan  menentukan  nilai
kebenaran  dari  suatu  pernyataan  majemuk.  Banyaknya  baris  dan  banyaknya
kolom  dari  table  ini  tergantung  pada  banyaknya  komponen  yang  akan  dicari
kebenarannya ( 2n
 dengan n = banyaknya komponen).

6. Kuantor 
Suatu kalimat terbuka dapat menjadi kalimat tertutup yang mempunyai nilai
kebenaran  setelah  dibubuhi  kuantor. Kuantor  ini  dapat  dibedakan menjadi  dua
jenis, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.
  Kuantor  universal  yang  dinotasikan  “    “ mempunyai  arti  “semua”    atau 
“setiap”,  dan  kuantor  eksistensial  yang  dinotasikan  “    “  mempunyai  arti
“beberapa”   atau   “sekurang-kurangnya  satu”. Pada dasarnya kuantor  itu hanya   46
ada  dua  macam  seperti  tersebut  di  atas,  walaupun  muncul  dalam  berbagai
macam bentuk.
Ada dua definisi yang banyak dipakai dalam pembahasan kuantor, yaitu 
1. (  x ) (   y ) p (x , y)   (  x ) [ (  y ) p (x , y) ]
2. (   y ) (  x ) p (x , y)   (   y )  [ (  x ) p (x , y) ].
Selain kedua definisi pokok ini dikenal pula 
1. (   y ) (  y ) p (x , y) berarti “Untuk tiap x dan untuk tiap y berlaku p (x , y)”.
2. (   x ) (   y ) p (x , y) berarti “ Ada x dan ada y sehingga berlaku p (x , y).
  Sebaliknya, penggabungan dua kuantor  yang berbeda  tidak memenuhi  sifat
komutatif,  karena  pernyataan-pernyataan  akhirnya  tidaklah  ekuivalensi  logis,
misalnya : 
1. (  x ) (   y ) p (x , y)   (   y ) (  y ) p (x , y)
2. (   x ) (  y ) p (x , y)   (  x ) (   y ) p (x , y)

7. Negasi Pernyataan Berkuantor
Selain kedua definisi pokok kuantor (dalam Kegiatan Belajar 1 modul ini),
juga ada dua buah postulat yang berlaku secara umum dan dapat diterima
pengertiannya secara logis, yaitu : 
1.   [ (   x ) p(x) ]   (   x ) [  p(x) ]
2.   [ (   x ) p(x) ]   (   x  ) [   p(x) ]
  Kedua postulat kuantor ini selain dipakai dalam menentukan nilai kebenaran
suatu proposisi berkuantor, juga bersama-sama dengan definisi pokok terdahulu
akan sangat membantu dalam menentukan negasi proposisi berkuantor, baik
dengan satu kuantor maupun dengan dua kuantor. Sedangkan penekanan
pemakaiannya, yaitu untuk keperluan mengubah dari negasi kuantor universal ke
kuantor eksistensial, dan dari negasi kuantor eksistensial ke kuantor universal.


8.  Penarikan Kesimpulan 
Argumen didefinisikan sebagai kelompok proposisi yang jika dapat
diturunkan konklusi secara logis dari premis-premisnya disebut valid, jika tidak   47
dinamakan argumen yang invalid. Penarikan konklusi dalam penentuan validitas
argumen tidaklah sederhana, sebab erat sekali kaitannya dengan kebenaran dan
kesalahan premis-premisnya.

  Selanjutnya  untuk  menguji  tingkat  penguasaan  Anda  terhadap  uraian
Kegiatan Belajar di atas, kerjakanlah soal-soal Tes Formatif  berikut ini.  

Tes Formatif 

Petunjuk: Berilah komentar atau penjelasan dari setiap pernyataan berikut, dan
tentukan pula nilai kebenarannya. Jawaban yang benar skornya 1 dan
jawaban yang salah skornya 0.

1. Pernyataan : “Candi Borobudur adalah candi Budha dan Candi Prambanan adalah
candi Hindu”
A. Pernyataan tunggal
B. Bukan pernyataan
C. Pernyataan majemuk
D. Pernyataan majemuk terbatas.

2. Jika p : “Semua bilangan asli merupakan bilangan real” dan 
           q : “Semua bilangan ganjil merupakan bilangan genap”
    maka diantara berikut yang benar adalah
A.   ( p   q)
B.   p     q
C.   p   q
D.   (p   q).

3. Jika r : “Matematika merupakan ilmu penting” dan 
             s : “Matematika diajarkan di sekolah”
     maka kalimat dari simbol logika s     r adalah    48
A. Matematika diajarkan di sekolah   dan matematika bukan ilmu yang penting
B. Matematika tidak diajarkan di sekolah  atau matematika bukan ilmu yang
penting
C. Matematika tidak diajarkan di sekolah   dan matematika ilmu yang penting
D. Matematika diajarkan di sekolah   atau matematika ilmu yang penting

4.   {   [ p   (  p ) ] } adalah 
  A. BS  
  B. SB
  C. SS
  D. BB

5. Pernyataan berkuantor (  x ) (   y ) ( x + y = 0 ), jika diucapkan dengan kata-kata 
A. Ada x dan y sehingga untuk semua x berlaku x + y = 0
B. Untuk semua x dan y ada x + y = 0
C. Ada x untuk sembarang y sehingga berlaku x + y = 0
D. Untuk sebarang x ada y sehingga berlaku x + y = 0

6. Negasi dari pernyataan (  p ) ( q ) ( q + p = 0 ).
A. (   p ) (   q ) (q + p   0 ) 
B. (   p ) (   q ) (q + p   0 ) 
C. (   p ) (   q ) (q + p = 0 ) 
D. B. (   p ) (   q ) (q + p = 0 ) 

7. Ucapan dari simbol logika berkuantor : “Setidak-tidaknya ada sesuatu sedemikian
rupa, sehingga sesuatu itu adalah bukan bilangan real yang disebut bilangan
imajiner (R , I ), ialah : 
A. (   x ) [   R (x)   I (x) ]
B. (   x ) [   R (x)   I (x) ]
C. (   x )   [R (x)   I (x) ]   49
D.   (   x ) [   R (x)   I (x) ]

8. Di antara susunan proposisi-proposisi argumen valid berikut yang tidak mungkin
adalah :
A. Premis mayor salah, minor salah, konklusinya salah.
B. Premis mayor salah, minor salah, konklusinya benar.
C. Premis mayor benar, minor benar, konklusi salah.
  D. Premis mayor benar, minor salah, konklusi salah.

9. Di antara pernyataan berikut yang benar adalah: 
    A. Sebuah argumen yang invalid akan diperoleh dari proposisi-proposisi yang
benar saja.  
B. Sebuah argumen valid hanya diperoleh jika nilai kebenaran premis-premis dan
konklusinya benar.
C. Dalam argumen yang invalid tidak mungkin ada konklusi yang benar.
    D. Dalam argumen yang valid dengan premis-premis yang benar diperoleh
konklusi yang benar pula. 

10. Di antara berikut yang merupakan kesalahan konsep dalam …. Kalimat terbuka
adalah
A. x + 3   3x     adalah kalimat terbuka
B. x + 3 = 3x + 3     adalah kalimat terbuka
C. x + 3 = x + 3      adalah kalimat terbuka
D. x + 3   x + 3     adalah kalimat terbuka






   50
KUNCI JAWABAN TES FORMATIF


1. C   Karena  terdiri dari dua pernyataan  tunggal, yaitu  : Candi Borobudur adalah
candi Budha dan Candi Prambanan adalah Candi Hindu, berarti pernyataan
majemuk.

2. D   (p ) = D,   (q) = S dan   (   (p   q)) = B

3. A     s     r  : Matematika diajarkan di sekolah atau matematika bukan ilmu yang
penting.

4. D     {  [ p   (  p)]} = BB. Didapat dari tabel nilai kebenaran.

5. D   ( x) ( y) (x + y = 0), diucapkan: “Untuk semua x ada y, sehingga berlaku     x
+ y = 0”.

6. A     (  p ) ( q ) ( q + p = 0 )   (  p )   ( q ) ( q + p = 0 )
                                                       (  p ) ( q )   ( q + p = 0 )
                                                       (  p ) ( q ) ( q + p   0 )

7. A   “Setidak-tidaknya ada sesuatu sedemikian ( x), sehingga sesuatu itu bukan
bilangan real (  R) yang disebut ( ) bilangan imajiner (I)” berarti ( x) [(  R)
 I(x)]

8. C.   (1). A   B  / A   (B   C)
         (2). A                           /  B   C        CP
            (3). B                1, 2 MP
            (4). B   C                    3 Add.
   51
9. A     Bentuk pernyataan: (A   B)   [A   (A   B)] pembuktian tautologinya
dalam bentuk validitas argumen:
       (1). A   B                   / A   (A   B) 
      (2). A                           / A   B                     CP
  (3). B                            1, 2 MP 
       (4). A   B                     2, 3 Conj

10. C  x + 3 = x + 3 adalah kalimat tertutup yang disebut kesamaan (equality) yang
nilai  kebenarannya  adalah  benar  (berlaku  untuk  semua  harga  x    R  =
bilangan  real).  Pada  umumnya  buku-buku  menyebutnya  kalimat  terbuka
dengan alas an memuat variable (ada miskonsepsi).


















   52
Daftar Pustaka

Abdul Kodir, dkk. (1979). Matematika untuk SMA. Jakarta: Depdikbud.

Andi Hakim Nasution, dkk. (1994). Matematika 2 untuk Sekolah Menengah Umum.
Jakarta: Balai Pustaka. 

Bunarso  Tanuatmodjo,  dkk.  (1977). Matematika  Jilid  1.  Bandung:  BPG  Tertulis.
Depdikbud.


Depdiknas.  (2002). Contextual  Teaching  and  Learning  (CTL).  Jakarta: Direktorat
Jenderal Pendidikan Dasar Menengah. 

Irving  M.  Copi.  (1973).  Symbolik  Logic.  Fourth  edition.  New  York:  Macmilan
Publishing Co. Inc.

Karso.  (2003).  Pengantar  Dasar  Matematika,  cetakan  keempat.  Jakarta:  Pusat
Penerbitan Universitas Terbuka Depdiknas

Lilik Hendrajaya dan Ismail (1975). Matematika untuk SLA & Sederajat. Bandung:
Ganeca Science Book Leries.

Oesman Arif. (1978). Logika Simbol (Logika Modern). Jakarta, Surabaya: PT. Bina
Ilmu.

Ruseffendi, E.T. (1979). Dasar-dasar Matematika Modern untuk Guru, Edisi ketiga.
Bandung : Tarsito

Robert Sharvy. (1970). Logic on Outline. Totowa, New Jersey : Little field, Adam &
Co.

Stephen, W.  J.  dan  Gallagher,  S.  A.  (2003).  Problem  Based  Learning.  [online].
Tersedia http://www. Score rims h. 12 Ca.vs/ problem html.

Wahyudin. (1984). Pengantar Sistem Matematika. Bandung : Epsilon Grup.

Tim (1979). Matematika Untuk SMA. Jakarta : Depdikbud.